Ejemplos de ecuaciones de tercer grado

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Ejemplos de ecuaciones de tercer grado

Cómo factorizar ecuaciones cúbicas

Una ecuación cúbica es una de la forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 donde a,b,c y d son números reales. Por ejemplo, x3-2×2-5x+6 = 0 y x3 -3×2 + 4x – 2 = 0 son ecuaciones cúbicas. La primera tiene las soluciones reales, o raíces, -2, 1 y 3, y la segunda tiene la raíz real 1 y las raíces complejas 1+i y 1-i.

Existe una fórmula para encontrar las raíces de una ecuación cúbica que es similar a la de la ecuación cuadrática, pero mucho más complicada. Fue utilizada por primera vez por Gerónimo Cardano en 1545, aunque había obtenido la fórmula de Niccolo Tartaglia bajo la promesa de guardar el secreto.

Calculadora de ecuaciones cúbicas

Las soluciones de esta ecuación se llaman raíces de la función cúbica definida por el lado izquierdo de la ecuación. Si todos los coeficientes a, b, c y d de la ecuación cúbica son números reales, entonces tiene al menos una raíz real (esto es cierto para todas las funciones polinómicas de grado impar). Todas las raíces de la ecuación cúbica se pueden encontrar por los siguientes medios:

No es necesario que los coeficientes sean números reales. Gran parte de lo que se trata a continuación es válido para los coeficientes de cualquier campo con característica distinta de 2 y 3. Las soluciones de la ecuación cúbica no pertenecen necesariamente al mismo campo que los coeficientes. Por ejemplo, algunas ecuaciones cúbicas con coeficientes racionales tienen raíces que son números complejos irracionales (e incluso no reales).

En el siglo VII, el matemático astrónomo de la dinastía Tang Wang Xiaotong, en su tratado matemático titulado Jigu Suanjing, estableció y resolvió numéricamente de forma sistemática 25 ecuaciones cúbicas de la forma x3 + px2 + qx = N, 23 de ellas con p, q ≠ 0, y dos de ellas con q = 0.[11]

Fórmula de las raíces de la ecuación cúbica

Este artículo se basa en gran medida o totalmente en una sola fuente. La discusión relevante puede encontrarse en la página de discusión. Por favor, ayude a mejorar este artículo introduciendo citas a fuentes adicionales.Buscar fuentes:  «Función cúbica» – noticias – periódicos – libros – académico – JSTOR (septiembre de 2019)

donde los coeficientes a, b, c y d son números reales, y la variable x toma valores reales, y a ≠ 0. Es decir, es tanto una función polinómica de grado tres, como una función real. En particular, el dominio y el codominio son el conjunto de los números reales.

La gráfica de una función cúbica siempre tiene un único punto de inflexión. Puede tener dos puntos críticos, un mínimo y un máximo local. Por lo demás, una función cúbica es monótona. La gráfica de una función cúbica es simétrica respecto a su punto de inflexión, es decir, es invariable bajo una rotación de media vuelta alrededor de este punto. Hasta una transformación afín, sólo hay tres gráficas posibles para las funciones cúbicas.

El signo de la expresión dentro de la raíz cuadrada determina el número de puntos críticos. Si es positivo, entonces hay dos puntos críticos, uno es un máximo local y el otro es un mínimo local. Si b2 – 3ac = 0, entonces sólo hay un punto crítico, que es un punto de inflexión. Si b2 – 3ac < 0, entonces no hay puntos críticos (reales). En los dos últimos casos, es decir, si b2 – 3ac es no positivo, la función cúbica es estrictamente monótona. Véase en la figura un ejemplo del caso Δ0 > 0.

Resolver la ecuación cúbica

Las soluciones de esta ecuación se llaman raíces de la función cúbica definida por el lado izquierdo de la ecuación. Si todos los coeficientes a, b, c y d de la ecuación cúbica son números reales, entonces tiene al menos una raíz real (esto es cierto para todas las funciones polinómicas de grado impar). Todas las raíces de la ecuación cúbica se pueden encontrar por los siguientes medios:

No es necesario que los coeficientes sean números reales. Gran parte de lo que se trata a continuación es válido para los coeficientes de cualquier campo con característica distinta de 2 y 3. Las soluciones de la ecuación cúbica no pertenecen necesariamente al mismo campo que los coeficientes. Por ejemplo, algunas ecuaciones cúbicas con coeficientes racionales tienen raíces que son números complejos irracionales (e incluso no reales).

En el siglo VII, el matemático astrónomo de la dinastía Tang Wang Xiaotong, en su tratado matemático titulado Jigu Suanjing, estableció y resolvió numéricamente de forma sistemática 25 ecuaciones cúbicas de la forma x3 + px2 + qx = N, 23 de ellas con p, q ≠ 0, y dos de ellas con q = 0.[11]